Pertidaksamaan

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

  1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Jika a < b maka:
a + c < b + c
a – c < b – c
  1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
a.c < b.c
a/b < b/c
  1. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
a.c > b.c
a/c > b/c
  1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan
Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2

Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan
Contoh:


Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:
  1. Ruas kanan dibuat menjadi nol
  2. Faktorkan
  3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
  4. Gambar garis bilangannya
Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •
Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °
  1. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda
  1. Tentukan himpunan penyelesaian
→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)
→ jika tanda  pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)
Contoh:
(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7
4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7
4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0
–x2 + 4x + 5 ≥ 0
–(x2 – 4x – 5) ≥ 0
–(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:
  • menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
  • jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
  • karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
  • karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Garis bilangan:
  • menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
  • jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
  • karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
  • karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
  • selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
  • karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:
  1. Ruas kanan dijadikan nol
  2. Samakan penyebut di ruas kiri
  3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
  4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
  5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)
  1. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval
Contoh 1:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0
–5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3
Garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

Contoh 2:

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0
x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ variabelnya berada dalam tanda akar
Penyelesaian:
  1. Kuadratkan kedua ruas
  2. Jadikan ruas kanan sama dengan nol
  3. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat
  4. Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0
Contoh 1:

Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2
x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0
–2x – 8 < 0
Semua dikali –1:
2x + 8 > 0
2x > –8
x > –4
Syarat 1:
x2 – 5x – 6 ≥ 0
(x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0
x = 6 atau x = –1
Syarat 2:
x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Contoh 2:

Kuadratkan kedua ruas:
x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4
x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0
–2x + 4 < 0
–2x < –4
Semua dikalikan –1
2x > 4
x > 2
Syarat:
x2 – 6x + 8 ≥ 0
(x – 4).(x – 2) ≥ 0
Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)
Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0
Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh 1:
|2x – 3| ≤ 5
berarti:
–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5
–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3
–2 ≤ 2x ≤ 8
Semua dibagi 2:
–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:
|3x + 7| > 2
berarti:
3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2
3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7
x < –3 atau x > –5/3

Contoh 3:
|2x – 5| < |x + 4|
Kedua ruas dikuadratkan:
(2x – 5)2 < (x + 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0    (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))
(3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0
x = 1/3 atau x = 9
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
Kedua ruas dikuadratkan:
(4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0
(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0
x = 2/5 atau x = 4/3
Syarat:
x + 1 ≥ 0
x ≥ –1
Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}

Contoh 5:
|x – 2|2 – |x – 2| < 2
Misalkan |x – 2| = y
y2 – y < 2
y2 – y – 2 < 0
(y – 2).(y + 1) < 0
Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0
y = 2 atau y = –1
Garis bilangan:

Artinya:
–1 < y < 2
–1 < |x – 2| < 2
Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku
|x – 2| < 2
Sehingga:
–2 < x – 2 < 2
–2 + 2 < x < 2 + 2
0 < x < 4
68 Responses
  1. Anonim Says:

    nice blog :) keep posting yah... this really helpful!


  2. Unknown Says:

    yeah this blog is so good! Thank you for posting about it! It's Helpful! :D


  3. Unknown Says:

    sangat membantu sekaLi..
    terimakasih banyak :)


  4. achangboss Says:

    trimakasih gan..!! i like that (y)


  5. Anonim Says:

    Mantap, mas. Bisa di jadikan bahan referensi. terimakasih ya


  6. Unknown Says:

    mantapp mas..,ma kasihh banyakkkk :D


  7. Unknown Says:

    Trima kasih ini sangat membantu σ(^○^)


  8. Unknown Says:

    SANGAT AMAT MEMBANTU... terimakasih buat penulis blog ini.. sangat mudah dipahami ... dengan contoh2 soal dan pembahasan nya... top markotop



  9. Almas Says:

    terimakasiiiiiiiiih


  10. SeoKyu Says:

    Terimakasihh... ini sangat membantu saya :)



  11. Unknown Says:

    thank very much :)


  12. Untuk contoh soal pertidaksamaan harga mutlak no4 sepertinya kurang tepat..karena nilai X+1 belum diketahui nilainya..tidak bisa semena2 dikuadratkan..berbeda dengan soal no3 yg kedua ruas terdapat tanda mutlak dan sudah jelas bernilai positif..soal no 4 lbih tepat dikerjakan dgn cara sifat yg sudah ada..


  13. Unknown Says:

    betul, pertidaksamaan no 4 bagian mutlak salah jawabannya, coba anda masukan
    x = - 10, pasti benar.
    bentuk soal ini tidak boleh dikuadratkan, penggunaan kuadrat kedua ruas hanya kalau kedua ruas pasti positif.


  14. Unknown Says:

    sangat membantu! terimakasih yaaa


  15. Unknown Says:

    Terima kasih, kami bisa mendapatkan ilmunya. Jawaban no.4 sudah betul, memang perlu syarat, bukankah nilai mutlak selalu bernilai positif atau sama dengan nol. Untuk Mas. Arcadius dan Michael, perlu pelajari dan belajar lagi ya Mas, Ok.


  16. megitra Says:
    Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

  17. SinMatt Says:

    @nur memang nilai mutlak selalu bernilai positif, berarti semua yang di ruas kiri itu positif, tetapi yang di kiri nya itu belum tentu positif bang, x nya sendiri masih bisa saja negatif, jadi belum boleh dikuadrat, harus dibagi 2 kemungkinan dlu, + >= + atau + >= -, lalu dicari penyelesaiannya dari kedua kemungkinan tersebut.


  18. Unknown Says:

    Jadi lebih paham... Terimakasih untuk penjelasannya yang jelas :)


  19. hermione Says:

    terima kasih :D
    bagaimana untuk soal pertidaksamaan dengan pangkat 3

    misal nya
    xpangkat 3 - 3x + 2 < 0

    atau soal berikut

    x pangkat 2 >= 5

    mohon bantuannya


  20. Unknown Says:

    Terima kasih penjelasannya sangat membantu :)


  21. nice blog!:D keep improve the blog


  22. Unknown Says:

    apa yang dimaksud "mengubah bentuk menjadi tanpa nilai mutlak" ???




  23. Unknown Says:

    thanks jelas banget


  24. Unknown Says:

    terima kasih, ini sangat membantu



  25. Unknown Says:

    wow, terima kasih sangat membantu


  26. Unknown Says:

    Gua ulangan dapet nilai bagus vro,membntu bnget lahh


  27. Santo Po Says:

    Blog anda sangat bermanfaat,Tuhan memberkati��


  28. Unknown Says:

    Nice postingannya bro....... Besok mau ulangan nih,,, membantu banget "thanks"



  29. tia pitaloka Says:

    Maacihhh banget blognya.membantu banget buat ngerjain tugas saya..


  30. Unknown Says:

    wow
    sngat mmbntu gua bgt nic
    thank bro



  31. Unknown Says:

    jika soal dari pertidaksamaan pecahan mempunyai pembilang pertidak samaan kuadrat, dan bagian penyebutnya adalah linea, bagaimana cara penyelesaiannya?
    mohon penjelasannya!


  32. Arcteryx Says:

    Thanks gan, bermanfaat banget nih..


  33. Unknown Says:

    terimakasih bro.... siiippppp


  34. Terima kasih banyaakk insyaAllah sangaf membantu
    Mohon doanya ya semua semoga saya bisa lolos kedokteran 2015/2016!:😀
    Aamiin Allahumma Aamiin



  35. Unknown Says:

    gimana kalau
    -2<=|x-2|<=3 ?


  36. Unknown Says:

    Terimakasih, sangat membantu :)


  37. Unknown Says:

    Gimana klw soalnya | 2x + 3 | + 2 | 3x + 2 |^ > 6


  38. Unknown Says:

    ketemu deh, belajar dulu lah tuk uts besok, hehe terimakasih
    beBisnis lah


  39. FMI Says:

    bro aturan pertidaksamaan ada gk? ane nemunya sifat2nya mlulu


  40. Unknown Says:

    terimakasih.semoga ilmunya bermanfaat untuk penulis dan pembaca.


  41. Unknown Says:

    lebih teliti lagi buat yag punya blog,
    banyak yg harus dikoreksi cara pengerjaan soalnya


  42. izin copas gan, buat tugas


  43. izin copas gan, buat tugas



  44. it helps me so much.
    keep sharing yeahhh...


  45. Anonim Says:

    Jika │x + 2│=3│x-4│,bagaimana caranya?


  46. Unknown Says:

    Bagaimana penyelesaian dari x+1 > x-6 ?


  47. Unknown Says:

    min link ada terlalu sering di copas orang lain ini salah satunya
    https://windakomala96.blogspot.co.id/2014/10/tips-membuat-games-tanpa-berbasis-coding.html?showComment=1473294939466#c8836722095778071470


  48. Unknown Says:

    . Tentukan himpunan jawab pertidaksamaan
    i. │x2 – x│≤2
    ii. │x2 – x – 1│≤1



  49. Semoga lebih bagus lagi 👍




  50. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

  51. Mantap!
    Saya sedang butuh materi ini.
    Karena masih susah memahami garis bilangannya.


  52. Sangat bermanfaat.. Thanks


  53. Unknown Says:

    Lengkap banget,makasih ya


  54. Unknown Says:

    Alhamdulillah jadi ngerti makasii