matematika

Bentuk Umum:

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + … a₂x² + a₁x + a₀
n = derajat suku banyak
a₀ = konstanta
a_n, a_{n – 1}, a_{n – 2}, … = koefisien dari xⁿ, x^{n – 1}, x^{n – 2}, …

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum
F(x) = suku banyak
P(x) = pembagi
H(x) = hasil bagi
S(x) = sisa
Teorema Sisa:
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)
Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1
Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Cara Pembagian Suku Banyak
Contoh:
F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1
1. Pembagian biasa

Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4
2. Cara Horner/Skema
bisa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1
Cara:

• Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

• Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
• Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Untuk soal di atas,
P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P₁: 2x + 1 = 0 → x = –½
P₂: x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
3. Cara koefisien tak tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2 = 1
S(x) berderajat 2 – 1 = 1
Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d
= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:
x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1
x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)
Tips:

1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa = 0
2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

Contoh:
Tentukan penyelesaian dari x³ – 2x² – x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1   x = 2   x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:
ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃
dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a
• Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a
• Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃, x₄
dengan sifat-sifat:

• Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a
• Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ = c/a
• Jumlah 3 akar: x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₂.x₃.x₄ = – d/a
• Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola:  –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

Pembagian Istimewa